Moving Media Rappresentazione Di Vecm

L'analisi di cointegrazione Relazioni Utilizzando Il Saggio vecm Modello Economia Pubblicato: 23 marzo 2015 ultima modifica: 23 marzo 2015 Questo saggio è stato presentato da uno studente. Questo non è un esempio del lavoro scritto dai nostri scrittori saggio professionali. Questo saggio analizza la lunga co-movimento di corsa tra il Regno Unito, Germania e mercati azionari francesi con la tecnica di co-integrazione Johansen, cioè il vettore di correzione degli errori del modello (VECM), con un quadro di analisi delle tendenze stocastici comune ricorsiva. Il risultato delle analisi indica che non fino a dopo circa 1.982 ha fatto esiste un'indicazione di crescente co-integrazione tra i principali mercati azionari europei. Questo documento tenta di replicare in misura l'analisi condotta da Pascual (2003) nel suo articolo intitolato, quotAssessing mercati azionari europei (co) integrationquot e concentrandosi sulla parte dell'analisi VECM della carta. Introduzione Lo studio delle lungo periodo tendenze comuni tra i dati di serie storiche macroeconomiche e finanziarie è un'analisi econometrica imperativo, perché assistere economista per determinare la correlazione tra diverse variabili economiche, il che porta a decisioni di previsione e razionali fatte da individui, imprese e la governo su questioni che colpisce l'economia di un paese e come tale l'economia mondiale. L'analisi della integrazione dei dati di serie storiche economiche e finanziarie di Christopher Sims (1980) suggerisce il modello di vettore Auto-regressione (VAR) come metodologia credibile per questo scopo. Il VAR è un modello lineare n-variabile in cui ogni variabile è a sua volta spiega con i propri valori ritardati, oltre a valori correnti e passati delle rimanenti variabili n-1. Questo significa più di una variabile può essere analizzata allo stesso tempo per scoprire la relazione che esiste tra loro. Pertanto la forma di regressione vettore: dove i sono (n x n) matrici dei coefficienti e t è un (n x 1) a zero non osservabile significare processo vettore rumore bianco (serialmente non correlati o indipendenti) con matrice di covarianza invariante tempo. Per risolvere questo problema, può essere trattata come un multivariata almeno problema piazza: dove Y è la matrice delle variabili dipendenti in forma di colonne che rappresentano ciascuna variabile. In un'analisi VAR, è importante che le variabili sono stazionari I (0) - intendendo radice unità esistono nel modello in modo da sostenere l'ipotesi che le caratteristiche statistiche dei dati si comporteranno allo stesso modo in futuro come ha in passato. Tuttavia, si suggerisce che differenziazione per creare stazionarietà non dovrebbe essere incoraggiato, perché si sostiene che lo scopo dell'analisi VAR è esclusivamente per esaminare la correlazione tra le variabili, e delle diverse eliminerà le informazioni su tutte le relazioni di lungo periodo tra le variabili , (Brooks, 2008). dati di serie storiche economiche e finanziarie, di solito sono noti per avere un trend stocastico comune, questo significa che sono correlati, nel senso che essi sono noti per seguire linearmente un trend sul lungo periodo. Una serie di tali serie sono considerati come co-integrato quando contiene una radice unità I (1) e una combinazione lineare di loro è stazionaria. È stato inizialmente suggerito da Granger (1981), che un vettore di serie storiche che diventano un processo stazionario quando differenziata, possono anche avere una combinazione lineare che ha un processo stazionario, senza differenziazione, si può quindi affermare che tali variabili sono co-integrati, che porta alla questione di quanto differenziazione deve essere effettuata sulle variabili con riferimento alla combinazione di serie tempo considerato. E 'stato rilevato che quando tutte le variabili sono differenziata dalle loro proprietà univariata in modo appropriato, quindi il modello non ha più una rappresentazione serie tempo lineare multivariata con una media mobile invertibile. In tal caso, il modello può essere detto di essere stato over-differenziata. Engle e Granger (1987) hanno sottolineato che una struttura co-integrato può essere rappresentato in un modello di correzione dell'errore che include sia le caratteristiche stazionari e non stazionari di serie macroeconomiche, cioè un insieme combinazioni serie non stazionaria che hanno un fattore economico comune che li colpisce nello stesso modo, in modo che esse esistono una tendenza comune tra loro e come tale sarà sempre muoversi linearmente insieme nel lungo periodo anche se deriva uno dall'altro nel breve periodo. Questi fattori potrebbero essere l'inflazione, i tassi di interesse Andor politiche economiche. Il modello di correzione dell'errore fornisce una metodologia che può essere utilizzato per stimare, meteorologiche e test di co-integrazione. Il metodo di Engle e Granger conosciuta anche come la tecnica a due fasi è considerato di non essere abbastanza credibile a causa di alcuni problemi che hanno coinvolto nella procedura. Questo è evidente nell'analisi effettuata da Xu (2005), che era quello di verificare l'efficacia del metodo in due fasi usato da Lattau e Ludvigson (2001) e il metodo (VECM) Vector Error Correction modello per controllare il co-movimento in entrambi i dati tedeschi e statunitensi. Si è concluso che la VECM è il metodo più appropriato per studiare l'effetto del rapporto di consumo-ricchezza (CAY) a magazzino di ritorno e l'eccesso ritorna in entrambi i set di dati in modo significativo. Lo scopo di questo lavoro è quello di utilizzare la VECM per analizzare per la co-integrazione tra tre borse europee, vale a dire nel Regno Unito, Germania e mercati azionari francesi, nel tentativo di replicare in misura l'analisi effettuata da Pascual (2003) nella sua carta quotAssessing mercati azionari europei (co) integrationquot utilizzando il test Johansen. Tuttavia, anche se Pascual (2003) utilizza i dati trimestrali degli indici di borsa europei dal 1960 al 1999, questo documento utilizza un campione di 192 osservazioni dal 1963 al 2010 delle stesse indici del mercato azionario, ciò è dovuto a problemi di disponibilità dei dati . Inoltre, questo articolo si concentrerà principalmente sul usando il test di Johansen per misurare il co-movimento dei mercati, confrontando i risultati co-integrazione a punto diverso nel tempo per scoprire se esiste evidenza di una progressiva convergenza dei mercati azionari europei come la osservazioni aumenta. La sezione seguente è la revisione della letteratura su varie analisi svolte per indagare per la co-integrazione con VECM, successivo è la descrizione della metodologia che sarà utilizzata in questa analisi carte, seguita dalla presentazione e interpretazione dei risultati. Letteratura Recensioni integrazione dei mercati finanziari è stato oggetto di approfondite ricerche in letterature economiche per un lungo periodo di tempo, con l'obiettivo di indagare la prova del rapporto di co-integrazione tra indici azionari nazionali attraverso lo studio dei co-movimenti di lungo periodo di questi mercati. Secondo Corhay et al (1993), questo interesse è stimolato dalla quotincrease nel flusso di capitali oltre i confini nazionali, eventuali utili derivanti diversificazione internazionale e l'esistenza di interrelazioni lead-lag tra magazzino exchangesquot. Tuttavia, i metodi differenti sono stati utilizzati e migliorato con il tempo. Pascual (2003) tenta di dimostrare che un aumento della convergenza tra gli indici azionari dei mercati azionari europei selezionati non deve essere considerata come una deduzione precisa l'approccio ricorsivo proposto da Rangvid (2001). Secondo lui i risultati del Rangvid (2001) analisi potrebbero essere fuorviante perché un aumento nella convergenza dei mercati europei potrebbe essere interpretata come conseguenza dell'aumento della potenza del test Johansen come la dimensione del campione aumenta da 20 a 156 osservazioni. Così dunque, si può dire che non esistono prove di una crescente co-integrazione. Ha poi suggerito un metodo alternativo per verificare la presenza di una sempre maggiore integrazione del mercato azionario. Egli propone che il termine di correzione degli errori (ECT) dovrebbe essere stimato in quanto si può riflettere la velocità di aggiustamento a difformità rispetto alla relazione di co-integrazione di lungo periodo. Un valore più elevato del coefficiente del TCE, potrebbe essere interpretato come un più elevato livello di integrazione di borsa, come campione aumenta. Corhay et al (1993), nella loro analisi riconosce che l'approccio migliore per analizzare i prezzi delle azioni quando le variabili coinvolte sono non stazionaria è l'uso del concetto co-integrazione o le tendenze comuni stocastici, che suggeriscono che diverse variabili non stazionari non linearmente muoversi insieme nel lungo periodo. E 'a loro parere che, poiché ci si aspetta che i mercati azionari di due o più paesi europei sono soggetti a una tendenza comune di mercato, allora si può dire che i mercati sono co-integrati. La loro analisi ha coinvolto 389 osservazioni bisettimanali, cioè, dal 1 marzo 1975 al 30 settembre 1991, di indici azionari di cinque principali mercati azionari europei (Germania, Francia, Italia, Regno Unito e Paesi Bassi). Utilizzando l'approccio VECM che sarebbe stato utilizzato più avanti in questo documento, che è stato proposto da Johansen (1988), e Johansen e Juselius (1990), che è un approccio di massima verosimiglianza per stimare e verificare il numero di con-integrazione nel modello VAR. Nella loro conclusione, hanno trovato la prova che rivela che essi esistono alcune tendenze stocastici di lungo periodo tra i vari indici di borsa europei, anche se è stato anche scoperto che i prezzi delle azioni italiane non sembrano influenzare questa tendenza di lungo periodo. Pukthuanthong and Roll (2009) nel loro studio propone una misura alternativa della integrazione dei mercati globali. Essi suggeriscono usando empiricamente il potere esplicativo del modello multi-fattore di indagare la crescente integrazione dei mercati globali come la correlazione dei paesi indici di mercato è considerato una misura poveri. Essi spiegano che se gli stessi fattori globali colpisce per esempio due paesi indici Allo stesso proporzione, la loro correlazione sarebbe imperfetta anche se i fattori globali spiegano il ritorno degli indici in entrambi i paesi 100. Essi hanno osservato che sembrano essere una crescente co - Integrazione tra i 17 grandi paesi nel corso del tempo, sottolineando che semplice correlazione non ha dato un risultato efficace, perché non è riuscito a rivelare tutta la misura di integrazione degli indici di paesi nel corso degli ultimi 30 anni. La ragione per l'interesse da parte dei responsabili analista economico e di politica economica nel rapporto tra mercati azionari e la loro convergenza potrebbe essere dovuto alla ricerca di se esiste una possibilità di guadagni dal diversificazione internazionale, soprattutto nella prospettiva di un investitore, per esempio , nel caso in cui esiste una tendenza comune lineare di lungo periodo tra i mercati azionari nazionali, quindi la possibilità di ottenere dalla diversificazione internazionale nel lungo periodo è meno probabile. Fraser e Oyefeso (2005) nel loro studio indagare la convergenza di lungo periodo tra il Regno Unito e Stati Uniti sette mercati azionari europei. Dai test multivariata co-integrazione Johansen condotte che è stato utilizzato su un campione di dati mensili per il periodo dal 1974 al 2001 di indici di prezzo del mercato di un insieme selezionato di paesi europei tra cui il Regno Unito e degli Stati Uniti in Francia, Danimarca, Belgio, Germania, Italia, Svezia e Spagna, dimostra che esiste una relazione di lungo periodo tra i mercati azionari a causa della presenza di una sola tendenza comune stocastico. L'inferenza suggerito dalla loro analisi conferma che i mercati azionari presi in esame sono completamente correlati nel lungo periodo o il futuro. È stato anche osservato che i risultati ottenuti dalla loro indagine mostra una molto più grado di integrazione di quelli ottenuti Corhay et al. (1993) effettuato su una serie di mercati europei specificato, secondo loro, questo potrebbe essere il risultato del periodo di tempo prolungato. Altra carta che hanno sostenuto la tesi che i principali mercati azionari di tutto il mondo sono confluiti nel lungo periodo include quella di Kasa (1992), dove il campione di osservazione sono dai dati mensili e trimestrali dei mercati azionari degli Stati Uniti Giappone, Germania, Inghilterra e Canada dal 1974 a metà del 1990. Nel Taylor e Tonks (1989) hanno studiato l'effetto della soppressione del controllo dei cambi nel Regno Unito sul grado di integrazione dei mercati azionari d'oltremare del Regno Unito e, utilizzando la tecnica di Engle e Granger (1987) due passaggi per verificare la presenza di co-integrazione su dati di serie temporali. I loro risultati mostrano evidenza che è conforme a quello ottenuto dall'analisi co-integrazione precedentemente menzionato. In questo caso, con l'abolizione del controllo dei cambi, la Borsa del Regno Unito è diventato co-integrato con quello del Giappone, Germania e Paesi Bassi, a loro avviso questo potrebbe avere essere dovuto al fatto che, poiché il controllo del capitale era ormai rilassato e come sono stati utilizzati questi le opportunità di arbitraggio non sfruttate. Syriopoulos (2004) indaga l'esistenza di breve e di lungo periodo di correlazione tra i principali mercati sviluppati azionari selezionati mercati azionari europei emergenti Germania e Stati Uniti e Polonia, Ungheria, Repubblica Ceca e Slovacchia. La tecnica VECM è stato utilizzato e si è dedotto che esiste rapporto di co-integrazione tra i mercati. E 'stato a giudizio gli autori che le forze interne ed esterne, che possono essere indicati come forze macroeconomiche, colpisce i mercati azionari comportamenti, che a sua volta conduce al equilibrio di lungo periodo, è stato anche osservato che esiste più grado di correlazione tra i singoli mercati europei ei mercati sviluppati rispetto ai loro compagni di mercati emergenti. Questo implica che la strategia di investimento di diversificazione internazionale del rischio al fine di creare un efficace rendimento del portafoglio di mercato può essere limitato per gli investitori interessati ad utilizzare questa strategia di investimento. In Karolyi e Stulz (1996) indagano le componenti di fondo di ritorno scossa co-movimenti. Fuori degli USA e del Giappone condivide rendimenti che sono negoziati negli Stati Uniti sono stati studiati per scoprire se annunci macroeconomici e tassi di interesse crea shock che colpisce i co-movimenti tra i rendimenti azionari residenti negli Stati Uniti e giapponesi. Dai risultati ottenuti dal metodo empirico VECM, si è dedotto che questi fattori macroeconomici non influenzano i co-movimenti e che covarianza e correlazioni dei mercati sono alti quando altamente volatili. A loro parere, che è simile a Syriopoulos (2004), questo significa che la diversificazione internazionale come una strategia di investimento per diffondere il rischio potrebbe non essere così efficace come previsto. come la loro analisi mostra che la diversificazione in questo caso non fornisce sufficiente copertura contro le grandi scosse agli indici nazionali come ci si potrebbe aspettare. È stato suggerito anche da Karolyi e Stulz (1996) le covarianze tra i paesi non sono costanti, perché cambiano nel tempo e possono essere previsti. La questione di quello che potrebbe essere la ragione per l'aumento del co-integrazione nei mercati azionari si pone. Quali sono i fattori macroeconomici o globali che hanno portato alla co-movimento degli indici del mercato azionario dei paesi emergenti e paesi sviluppati Yang ed altri (2003) studio dell'effetto della creazione dell'Unione economica e monetaria (UEM) sul breve e di lungo periodo integrazione tra i mercati azionari europei undici e il mercato azionario degli Stati Uniti. I loro risultati sono simili a quello ottenuto da Taylor e Tonks (1989) e Corhay et al (1993). E 'stato in quel parere che la moderna tecnologia informatica e la fusione delle borse in Europa può essere il fattore che ha aumentato il co-integrazione tra i mercati azionari europei. Inoltre, Ioannidis et al (2006) utilizzando la metodologia proposta da Lettau e Ludvigson (2001), che è il metodo in due fasi, prende in esame tre paesi Australia, Regno Unito e Canada. Hanno confermato i risultati del (2001) Analisi Lettau e Ludvigson che suggeriscono che la variabile ritardata co-integrazione (CAY) è un predittore significativo del rendimento atteso o l'eccesso di ritorno dei mercati azionari dei paesi specificati, proprio come nel caso di Stati Uniti Anche se, Xu (2005) utilizza la VECM di indagare il rapporto tra il rapporto consumo-ricchezza (CAY) su rendimenti azionari tedeschi. Lo scopo di Xu analisi (2005) era confrontare l'efficienza della metodologia proposta da Lettau e Ludvigson (2001) e la VECM utilizzando dati tedeschi e statunitensi, e si è concluso che la VECM è un metodo più appropriato per studiare l'effetto di Cay rendimenti azionari e rendimenti in eccesso in entrambi i set di dati in modo significativo. Si può allora dire che Cay potrebbe essere considerato un fattore macroeconomico che determina l'andamento lineare dei rendimenti del mercato azionario nel lungo periodo, dato che ci sono prove del fatto che esistono una correlazione tra queste variabili e dei mercati finanziari rendimenti. Con questa prova, i rendimenti del mercato azionario potrebbe essere prevedibile da ciclo economico a frequenze di rotazione nel lungo periodo. Metodologia La metodologia che sarebbe stato utilizzato è il vettore di correzione degli errori del modello (VECM), che è stato utilizzato più frequentemente per l'analisi dei dati di serie storiche economiche. Engle e Granger (1987) elaborare il fondamentale l'aspetto co-integrazione. In questo lavoro, l'analisi co-integrazione nel quadro del modello vettoriale autoregressivo (VAR) proposta dalla Johansen (1988), e Johansen e Juselius (1990) sarebbe utilizzato. Quanto segue è una spiegazione statistica dell'analisi VECM utilizzando la tecnica Johansen, come indicato da Brooks (2008). Per poter utilizzare il metodo Johansen, un VAR con k ritardi contenente un insieme di variabili g (g 2), che si presume siano I (1) e cointegrate, dovuto essere convertito in un vettore errore di correzione del modello (VECM), in modo tale che il set-up: YT 1 yt1 2 ​​yt2 k YTK ut g - 1 g - gg - 1 g - gg - 1 g - gg - 1 g - 1 (3) viene trasformato in un modello di correzione degli errori vettore (VECM) come di seguito: yt ytk 1yt1 2yt2 k1yt (k1) ut (4) dove () - Ig ed i (- Ig dall'equazione VAR sopra le variabili g sono nella prima forma differenziata sul lato sinistro e sul lato destro. la k-1 sono i ritardi delle variabili dipendenti nella loro forma differenziata, ciascuna contiene una matrice di coefficienti che li accompagna. la matrice nel test Johansen può rappresentare la matrice dei coefficienti di lungo periodo, poiché tutto il yti sarà zero e l'errore termine. ut sarà impostato il loro valore atteso pari a zero lascerà YTK 0, in equilibrio. il rango della matrice dalla sua autovalore viene utilizzato per calcolare il numero di co-integrazione tra i ys. Gli autovalori, che sono il numero delle sue radici caratteristiche che sono diversi da zero equivale al rango di una matrice. Il simbolo che denota gli autovalori, che sono impostati in ordine crescente, come così 1 2. g. Nel caso in cui gli autovalori (s) sono radici che devono essere inferiori 1in valore assoluto e positivo, e 1 sarà vicino a 1, che è il più grande, mentre g sarà vicino a 0 che è il più piccolo. Quando le variabili analizzate non sono co-integrati, il rango della matrice non sarà diversa da zero notevolmente, in modo che I 0 I. In un test di Johansen, ci sono due statistiche test che vengono utilizzati per co-integrazione analisi, sono nella forma qui sotto: trace (r) Ti) (4) (traccia 0 quando tutto l'i 0, per i 1. g. ) max (r, r 1) T ln (1 r1) (5) dove r è il rappresenta il numero di vettori co-integrazione sotto l'ipotesi nulla ed i rappresenta il valore stimato per all'autovalore i-esima dalla matrice. Nella traccia, che è un test congiunto ha una ipotesi nulla in cui il numero di vettori co-integrazione è inferiore o uguale a r contro una ipotesi alternativa che ci sono più di r. Nella max prova una prova separata è condotta su ciascun autovalore con una ipotesi nulla che è il numero di vettori co-integratrice r ed una ipotesi alternativa di r 1. La prova traccia inizia con autovalori p, e poi in successione il più grande è rimosso. Ogni autovalore ha con essa un vettore diverso co-integrazione allegato, che è noto come gli autovettori. Un autovalore significativamente diverso da zero mostra un significativo vettoriale co-integrazione. I valori critici utilizzati per le due statistica test dipende dal valore della g - r, il numero di elementi non stazionari e come costanti sono inclusi in ciascuna delle equazioni. Quando il valore critico è inferiore statistica test, rifiutare l'ipotesi nulla che ci sono r co-vettori integranti a sostegno delle ipotesi alternativa (r 1 per il test traccia o più r per la prova max). La prova è eseguita in una sequenza e sotto l'ipotesi nulla, r 0, 1 g - 1 in modo che le ipotesi di massima possono essere rappresentati come sotto come: H0. r 0 contro H1. 0 lt r g H0. r 1 contro H1. 1 lt r g H0. r 2 contro H1. 2 lt r g H0. r g 1 contro H1. r g Da quanto sopra, il primo test significa l'ipotesi nulla di nessuna presenza di vettori co-integrazione, quindi la matrice corrispondente hanno un rango 0. Nel caso in cui l'ipotesi nulla (H0: r 0) è respinta, allora il nulla che c'è un co-integrazione vettoriale (H0: r 1) viene testato e il processo continua, e pertanto il valore di r è continuamente aumentata fino a quando l'ipotesi nulla non viene rifiutata. La matrice può mai essere al rango pieno (g) poiché ciò significherebbe che yt è stazionario. Nel caso in cui la matrice ha 0 rango, poi corrispondenza con il caso univariato, yt dipende solo in yt j e non su yt - 1, che porterà ad alcuna relazione di lungo periodo tra gli elementi di yt - 1, che a sua sua volta significa che non co-integrazione. Per esempio, in 1lt rango () lt g, ci sono vettori co-integrazione di R. La matrice viene quindi caratterizzato come il prodotto di due matrici, e, della dimensione (g - r) e (r - g) rispettivamente, cioè, dove matrice denota i vettori co-integrazione, mentre. che è noto come il parametro di regolazione, dà la quantità di ciascun vettore co-integrazione associata a ciascuna equazione del modello di correzione dell'errore vettoriale. Nella sezione seguente l'approccio VECM con la tecnica Johansen, come spiegato, sarà effettuato sui selezionati tre mercati azionari europei nel Regno Unito, Francia e Germania per studiare la possibilità di una crescente mercato di co-integrazione, utilizzando in misura l'approccio ricorsivo fatto di Pascual (2003), che è simile a quello svolto da Rangvid (2001). L'approccio Johansen viene poi applicato al modello di correzione degli errori vettore xt A 0xt1 i xt1 ut (7) qui x rappresenta il vettore contenente il valore del logaritmo degli indici di borsa per i paesi europei selezionati. verrà osservato un numero maggiore di significativi vettori co-integrazione col passare del tempo se i mercati stanno convergendo. I dati utilizzati sono stati usati per studiare per la co-integrazione sono i dati trimestrali della europea (Regno Unito, Germania e Francia) indici di borsa dal 1963 al 2010 che si traduce in una dimensione del campione totale di 192 osservazioni ottenute da DATASTREAM. Il motivo per l'avvio di questa analisi dal 1963, invece del 1960 come svolta da Pascual (2003) è dovuta a problemi di disponibilità dei dati. Partendo da un campione di 20 trimestri dal 1960: Q1 al 1964: Q4 per tre indici azionari europei è stimata in modo ricorsivo con l'aggiunta di una osservazione più alla volta fino al 2010: Q4. All'appendice 1, si osserva a occhio-balling i dati, che come più osservazioni sono aggiunte le linee che rappresentano ciascuna variabile sembrano avvicinarsi tra loro e hanno una tendenza al rialzo. Secondo Pascual (2003), la tendenza all'aumento può essere attribuito a due ragioni. In primo luogo, è il numero di tendenze stocastici esistenti che conducono i tre sistemi tridimensionali stanno diminuendo con il tempo come i mercati diventano sempre più integrato. In secondo luogo, le osservazioni aumento dal 20 al 156 La traccia statistiche fondono ai valori di lungo periodo. Questo può essere interpretato come l'esistenza di cointegrazione tra le variabili, anche se l'analisi necessaria deve essere effettuata per giustificare questa ipotesi. Nella sezione rappresentazione risultato, quattro diverse finestre lag, corrispondente a 20, 60, 100, 140 e 192 osservazioni, vengono analizzati. Risultati Presentazione Il primo passo nell'analisi VECM è quello di verificare la presenza di stazionarietà nelle variabili. test per radici unitarie è stata effettuata sul registro delle variabili utilizzando Augmented Dickey-Fuller (ADF), Philips-Perron (PP) e il test Kwiatkowski-Philips-Schmidt-Shin (KPSS). I risultati sono presentati di seguito: Unità RootStationary Tabella Test 1: risultati radice unitaria dalla tabella sopra riportata, Regno Unito, G e F rappresenta Regno Unito, Germania e Francia, rispettivamente, denotano il registro del mercato azionario europeo. Dai risultati di cui sopra si può dedurre che le variabili sono I (1), che significa esistono radici unitarie e quindi le variabili sono non-stazionaria. Questi risultati possono essere illustrati in un grafico radice unitaria come qui sotto: Figura 1: Unità grafico Root Poiché, uno dei punti blu toccare il cerchio, si può concludere che le variabili sono non-stazionari. Il passo successivo sarà quello di specificare il ritardo ottimale. La tabella seguente contiene la struttura dei ritardi di 20, 60, 100 e 140 osservazioni. Il ritardo ottimale si ottiene quando il criterio di Akaike ha un valore minimo. Il criterio di informazione di Akaike è appropriato per questa analisi dal momento che l'ampia dimensione è abbastanza piccola. Akaike Information Criterion per VECM con lag 2 di lag 10 Numero di osservazioni Tabella 2: Akaike Information Criterion Dalla tabella sopra riportata, confrontando i criteri di informazione dimostra che VAR (1, 2) dà più piccoli criteri di informazione per tutte le diverse categorie di osservazioni e quindi è la migliore stima imparziale lineare. Per 20 osservazioni solo VAR (1, 2) è ottenibile perché è una dimensione molto piccolo campione. In seguito è l'analisi di cointegrazione delle variabili. Utilizzando l'approccio di Johansen FIML per testare la cointegrazione, ci sono due risultati dei test di base. Il max-autovalore e il test traccia come spiegato in precedenza in questo documento. I risultati di questo test sono presentati qui di seguito utilizzando la data regola di decisione ipotesi: H0: R0 H1: Rgt0Rgt0 H0: 0R1 H1: Rgt1 H0: 0R2 H1: Rgt2Rgt2. dove R rappresenta rango, a meno di 3. test di co-integrazione - Johansen FIML per 20 osservazioni Tabella 3: Unrestricted Cointegrazione Rank Test (Trace) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test traccia mostra che esistono 3 equazioni co-integrazione al 5 livello di Tabella 4: Unrestricted cointegrazione Rank test (massimo Eigenvalue) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test Max-autovalori mostra che esistono 1 equazione co-integrazione a livello 5. Co-integrazione di prova - Johansen FIML per 60 osservazioni Tabella 5: senza restrizioni Cointegrazione Rank Test (Trace) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test traccia mostra che non esistono equazioni co-integrazione a livello di 5 Tabella 6: Unrestricted Cointegrazione Classifica test (massimo Eigenvalue) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test Max-autovalori dimostra che non esistono equazione co-integrazione a livello 5. test di Co-integrazione - Johansen FIML per 100 osservazioni Tabella 7: Unrestricted Cointegrazione rank test (Trace) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test traccia mostra che non esistono equazioni co-integrazione a livello di 5 Tabella 8: Unrestricted Cointegrazione Classifica test (massimo Eigenvalue) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test Max-autovalori dimostra che non esistono equazione co-integrazione a livello 5. Co-integrazione di prova - Johansen FIML per 192 osservazioni Tabella 9: Unrestricted Cointegrazione rank test (Trace) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test traccia mostra che esistono equazioni 1 co-integrazione alla Tabella 5 Livello 10: Unrestricted Cointegrazione Classifica test (massimo Eigenvalue) ipotizzarono Numero CE (s) i risultati dei test Max-autovalori dimostra che esistono 1 equazione co-integrazione a livello 5. Le tabelle precedenti 3-10 mostrano i risultati co-integrazione del test ricorsivo. La traccia e test di max-eigenvalue per 20 osservazioni mostrano risultati contrastanti, questo può essere dovuto alla dimensione del campione di piccole o rotture strutturali non identificati nel sistema di co-integrazione. Facciamo affidamento sul risultato del test max-autovalore, perché il test di traccia può essere assunto come debole è incline a false respinta per problemi di dati. Così si adotta il risultato del test max-autovalore, il che indica che esiste un rapporto di co-integrazione nelle variabili vettore. Nel caso di 60, 100 e 140 osservazioni, i risultati dei test co-integrazione sia per la traccia e test di max-autovalore indica che esistono rapporto di co-integrazione tra le variabili vettoriali. Rangvid (2001) nella sua analisi simile riconosciuto questo quando ha affermato che quot. fino a circa 1982, i segni di maggiore convergenza tra i principali mercati azionari europei non sono cutquot chiare. Poiché l'osservazione viene aumentata a 192, i risultati co-integrazione dimostra che esiste una co-integrazione sia per la traccia e test di max-autovalore, questa indicazione è confermata dalla Rangvid (2001), ha osservato che era dopo 1982 ci sembrano essere i segni di una progressiva convergenza tra i mercati, nella sua analisi del max-autovalore è diventato significativamente grande e ha superato il valore critico. Egli ha anche notato che questo era il periodo in cui le restrizioni di capitale sono state revocate in tutta l'area europea. Secondo Pascual (2003) il test di co-integrazione non mostra alcuna prova significativa di variazione per l'integrazione dei mercati europei analizzati. Tuttavia, a causa della crescente velocità di coefficiente di adattamento tra 1965-1986 si suggerisce che indica una prova della crescente integrazione per il mercato francese. I grafici di cointegrazione sono presentati qui di seguito: Conclusioni Dall'analisi sopra i risultati dalla carta da Pascual (2003) sono stati confrontati a seguito del test di co-integrazione Johansen e si è osservato che prima di circa 1982 esiste deboli segnali di integrazione tra l'azionario europeo selezionato mercati, ma dopo il 1982 la tendenza per il mercato a essere guidato dalla stessa tendenza comune stocastico si osserva. Pertanto nel 2010, il risultato co-integrazione della traccia e test di max-autovalore confermato la precedente osservazione in quanto entrambi indicato che esiste 1 rapporto di co-integrazione nelle variabili. Tuttavia, Pascual (2003) ha suggerito un'alternativa per misurare la convergenza a causa del fatto che utilizzando il test Johansen con un approccio ricorsivo può fornire risultati fuorvianti, come il valore crescente delle statistiche traccia può essere interpretato come un aumento di co-integrazione, che infatti può essere dovuto al corrispondente potenza del test Johansen le osservazioni aumenta da 20 a 192. si suggerisce che una misura più intuitiva di integrazione tra il mercato azionario potrebbe essere fatto stimando il tempo-percorso seguito dai coefficienti di il termine di correzione di errore (ECT), poiché il coefficiente di TCE riflette la velocità di adattamento alle fluttuazioni della equilibrio di lungo periodo, si può ritenere che i più elevati valori del coefficiente, maggiore è il grado di borsa co-integrazione . Riferimenti Brooks, C. (2008). Econometria introduttive delle Finanze. 2nd Ed. Cambridge University Press, pp. 292-326. Corhay, A. A. Rad, T. 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One motivation for the VECM( ) form is to consider the relation as defining the underlying economic relations and assume that the agents react to the disequilibrium error through the adjustment coefficient to restore equilibrium that is, they satisfy the economic relations. The cointegrating vector, is sometimes called the long-run parameters . You can consider a vector error correction model with a deterministic term. The deterministic term can contain a constant, a linear trend, and seasonal dummy variables. Exogenous variables can also be included in the model. Test for the Cointegration The cointegration rank test determines the linearly independent columns of . Johansen (1988, 1995a) and Johansen and Juselius (1990) proposed the cointegration rank test by using the reduced rank regression. Different Specifications of Deterministic Trends When you construct the VECM( ) form from the VAR( ) model, the deterministic terms in the VECM( ) form can differ from those in the VAR( ) model. When there are deterministic cointegrated relationships among variables, deterministic terms in the VAR( ) model are not present in the VECM( ) form. On the other hand, if there are stochastic cointegrated relationships in the VAR( ) model, deterministic terms appear in the VECM( ) form via the error correction term or as an independent term in the VECM( ) form. There are five different specifications of deterministic trends in the VECM( ) form. Figure 30.53 shows which result, either Case 2 (the hypothesis H0) or Case 3 (the hypothesis H1), is appropriate depending on the significance level. Since the cointegration rank is chosen to be 1 by the result in Figure 30.52. look at the last row that corresponds to rank1. Since the - value is 0.054, the Case 2 cannot be rejected at the significance level 5, but it can be rejected at the significance level 10. For modeling of the two Case 2 and Case 3, see Figure 30.56 and Figure 30.57. Figure 30.53 Cointegration Rank Test Continued Hypothesis of the Restriction Drift in Process Hypothesis Test of the Restriction Figure 30.54 shows the estimates of long-run parameter (Beta) and adjustment coefficients (Alpha) based on Case 3. Figure 30.54 Cointegration Rank Test Continued Using the NORMALIZE option, the first low of the Beta table has 1. Considering that the cointegration rank is 1, the long-run relationship of the series is The following statements are examples of fitting the five different cases of the vector error correction models mentioned in the previous section. For fitting Case 1, For fitting Case 2, For fitting Case 3, For fitting Case 4, For fitting Case 5, From Figure 30.53 that uses the COINTTEST(JOHANSEN) option, you can fit the model by using either Case 2 or Case 3 because the test was not significant at the 0.05 level, but was significant at the 0.10 level. Here both models are fitted to show the difference in output display. Figure 30.56 is for Case 2, and Figure 30.57 is for Case 3. Figure 30.56 Parameter Estimation with the ECTREND OptionStock Prices, News, and Economic Fluctuations: Comment Keywords: Vector Error Correction Model, long-run restrictions, news shocks Beaudry and Portier (2006) propose an identification scheme to study the effects of news shocks about future productivity in Vector Error Correction Models (VECM). This comment shows that their methodology does not have a unique solution, when applied to their VECMs with more than two variables. The problem arises from the interplay of cointegration assumptions and long-run restrictions imposed by Beaudry and Portier (2006). JEL Classification: G12, E32, E44 In a highly influential paper, Beaudry and Portier (2006) estimate Vector Error Correction Models (VECMs) on U. S. data and find that shocks generating a stock market boom but no contemporaneous movement in Total Factor Productivity ( ) -- henceforth called news -- are closely related to shocks driving long-run variations in . Moreover, these news cause increases in consumption, investment, output and hours on impact and constitute an important source of business cycle fluctuations. These results run counter to basic dynamic stochastic general equilibrium (DSGE) models and have sparked a new literature attempting to generate news-driven positive comovement among macroeconomic aggregates. 1 This comment shows that in the VECMs with more than two variables estimated by Beaudry and Portier (2006), their identification scheme fails to determine news. Yet, these higher-dimension systems are crucial to quantify the business cycle effects of news. 2 The identification problem arises from the interplay of two assumptions. First, the Beaudry-Portier identification scheme requires that one of the non-news shocks has no permanent impact on either or consumption. Second, the VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006) impose that and consumption are cointegrated. This means that and consumption have the same permanent component, which makes one of the two long-run restrictions redundant and leaves an infinity of candidate solutions with very different implications for the business cycle. The results reported in Beaudry and Portier (2006) represent just one arbitrary choice among these solutions. 3 A potential way to address the identification problem is to drop the cointegration restriction between and consumption. We do so by applying Beaudry and Portiers (2006) restrictions, called the BP restrictions from hereon, on a vector autoregressive (VAR) system in levels that does not require any a priori assumptions about cointegration. The point estimates of the BP news shock responses in the level VAR resemble closely the results reported by Beaudry and Portier (2006) for their VECM systems. However, this identification is surrounded by a tremendous degree of uncertainty because the VAR estimates imply about a 50 chance that and consumption are cointegrated, in which case the BP restrictions fail to identify news. One can therefore not have any reasonable degree of confidence about the results obtained from the VAR in levels. We also apply the BP restrictions to an alternative VAR system that, consistent with a large class of DSGE models, imposes absence of cointegration between and consumption. In this case, the identification problem disappears but the shock implied by the BP restrictions is largely unrelated to . In sum, dropping the cointegration restriction between and consumption fails to solve the identification problem or generates results that are difficult to interpret as news about future productivity. The remainder of the comment proceeds as follows. Section 2 explains the identification problem arising with the BP restrictions. Section 3 applies the BP restrictions to VAR-based systems that do not impose cointegration between and consumption. Section 4 evaluates the BP restrictions in VAR systems with alternative cointegration assumptions. Section 5 concludes by briefly describing alternative identification strategies of news that do not depend on cointegration restrictions between and . Beaudry and Portier (2006) estimate bivariate, three-variable and four-variable VECMs in . a real stock market price ( ), consumption ( ), hours ( ) and investment ( ). These VECMs can be expressed in vector moving average form as where is empty for the bivariate case for the trivariate case and or for the four-variable case. All variables are logged and detrended. The lag polynomial is inferred from the VECM parameter estimates the vector contains the one-period ahead prediction errors and has variance covariance matrix . 4 Crucially, the VECM imposes a set of cointegration restrictions . where denotes the matrix of cointegrating vectors. As discussed by King, Plosser, Stock and Watson (1991) and Hamilton (1994), cointegration imposes restrictions on . In particular, since is stationary, and thus, is singular. This constrains the set of linearly independent restrictions that can be imposed on the VECM to identify structural shocks. The identification problem arising with the BP restrictions stems from these constraints. Identification maps to structural shocks by . with and thus . Impulse responses to the structural shocks are then given by . Beaudry and Portiers (2006) original idea is that news about future do not have a contemporaneous effect on measured i. e. if the news innovation is the second element of . that the element of is zero. For the bivariate systems that Beaudry and Portier (2006) use as their baseline case, this restriction together with uniquely identifies news. The identification problem arises in the three - and four-variate systems where one zero restriction is no longer sufficient to identify structural shocks. Beaudry and Portiers (2006) strategy consists of adding zero restrictions until identification is achieved. In the trivariate case, these additional restrictions are that one of the non-news shocks has no permanent effect on and so when this non-news shock is the third element of . the and elements of the long-run impact matrix are zero. In the four-variable case, the additional restrictions consist of the same two long-run restrictions plus the assumption that one of the other non-news shocks can only have a contemporaneous effect on . respectively so when this other non-news shock is the fourth element of . the . and elements of are zero. In a typical VAR, the additional zero restrictions, together with the zero impact restriction on and . would be sufficient to uniquely identify all elements of and thus news. Here, this is unfortunately not the case because the three - and four-variable VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006) are subject to two, respectively three cointegration restrictions i. e. is a matrix, respectively a matrix of linearly independent rows. 5 Since . the rows of and are linearly dependent of each other. In fact, given the number of cointegrating relationships, and are just of rank 1, and only one linearly independent restriction can be imposed on . One of the two long-run zero restrictions is therefore redundant, leaving and the shock that is supposed to capture news under-identified. 6 Another, perhaps more intuitive way to understand the identification problem is to realize that the imposed cointegration relationships imply for and to share a common trend. But then, when a particular shock, the third element of in this case, is restricted to have zero long-run effect on . it automatically also has zero long run effect on . The identification problem implies that there exists an infinity of solutions consistent with the BP restrictions. The results reported in Beaudry and Portier (2006) represent one particular solution but there is no economic justification for why this solution should be preferred over any of the other solutions. As we show in the Web-Appendix, some of these solutions are not correlated with the shock driving long-run movements in and generate very different impulse responses. In the context of the three - and four-variable VECMs estimated by Beaudry and Portier (2006), it is therefore impossible to draw any conclusions about news based on the BP restrictions. A seemingly natural way to address the identification problem while keeping with the BP restrictions is to drop the cointegration restriction between and . Indeed, as Beaudry and Portier (2006) note themselves, the econometric evidence in favor of two versus one cointegration relationship between . and is not clear-cut, which leaves open the door that and do not share a common trend. Beaudry and Portier (2006) entertain this possibility in the NBER working paper version of their paper where they report results for one of their baseline bivariate systems estimated as a VAR in levels i. e. with no cointegration restrictions imposed. However, they do not report any results for level VARs with more than two variables. One important challenge with implementing the BP restrictions in a VAR in levels is that for the type of non-stationary variables involved in the estimation, there is no finite-valued solution for the long-run impact matrix of the different shocks. Hence, the long-run zero restrictions on which Beaudry and Portiers (2006) identification scheme relies cannot be imposed exactly. 7 We resolve this issue by first computing the linear combination of VAR residuals that account for most of the forecast error variance (FEV) of . respectively . at a long but finite horizon of 400 quarters and then using a projection-based procedure to implement the BP restrictions. 8 We estimate the three - and four-variable level VAR equivalents of Beaudry and Portiers (2006) VECMs using their original data with the number of lags set to four based on traditional information criteria and Portmanteau tests. 9 The first row of Figure 1 reports the results for the four-variable level VAR in ( ) the second row reports the results for the level VAR in ( ). Very similar results obtain for the three-variable case and are therefore not reported. The red solid lines and the blue dashed lines display, respectively, the impulse responses -- generated by the point estimates -- to the shock identified by the BP restrictions and the shock driving long-run variations in . The grey intervals represent a measure of uncertainty about the identification implied by the BP restrictions, which will be discussed further below. Figure 1 about here The impulse responses derived from the point estimates of both level VARs come surprisingly close to the results reported in Beaudry and Portier (2006) for their VECM systems. 10 In particular, the shocks identified from the BP restrictions and the long-run shock lead to almost identical impulse responses and account for a large fraction of movements in at longer-run frequencies and . and at business cycle frequencies. At first sight, one could thus be led to conclude that dropping the cointegration assumption by estimating VARs in levels addresses the identification problem and resurrects the results reported in Beaudry and Portier (2006). However, the reported impulse responses reflect just the point estimates of the level VARs. The problem is that when sampling confidence sets from the estimated level VARs, about 50 of all draws imply that and share a common trend. 11 But then, as described in the previous section, the BP restrictions do not identify news and one is left instead with an infinity of candidate solutions. To illustrate this uncertainty about the BP identification, we take each draw that implies a common trend between and and compute all candidate solutions that are consistent with the BP restrictions and generate a positive impact response of . 12 The grey envelopes in Figure 1 show the resulting range of impulse responses. Clearly, the range is very wide, encompassing the zero line for all variables and frequently extending far beyond the displayed scale. Hence, one cannot have any confidence in the impulse responses generated from the BP restrictions when evaluating the level VARs at their point estimates. In principle, the lack of identification found in the VECMs could be addressed by estimating level systems, that do not impose the common trend assumption on and . For example, the point estimates of the level VARs generate a unique solution. But draws generated from the level VARs place sufficient odds in favor of the common trend assumption, such that this approach does not successfully address the identification problem. Alternatively, the identification can be addressed by estimating systems which impose that and have separate trends. Fisher (2010), for example, notes that DSGE models with neutral and investment-specific technology shocks imply that is not cointegrated with . while sharing a common trend with and . 13 These balanced growth assumptions are straightforward to implement by estimating a stationary VAR in . . and . respectively . 14 Since is no longer cointegrated with . the BP restrictions imply a unique identification across all draws. Figure 2 about here We estimate this stationary VAR specification with Beaudry and Portiers (2006) data and apply the BP restrictions. As shown in Figure 2, the resulting point estimates are very different from the ones reported in Beaudry and Portier (2006). In particular, the identified shock generates a drop in that lasts for 10 years or more and accounts for only a very small fraction of future movements in . This makes it difficult to interpret the identified shock as news about future productivity. This comment shows that the results reported in Beaudry and Portier (2006) are subject to an important identification problem. The problem arises from the interplay of long-run restrictions and cointegration assumptions that Beaudry and Portier (2006) impose with respect to and . Dropping the cointegration restriction between and by estimating a VAR in levels fails to address the identification problem because there is about a 50 probability that and share a common trend. Alternatively, imposing that and are not cointegrated by estimating a stationary VAR generate dynamics for that look very different from the ones reported in Beaudry-Portier (2006) and are difficult to interpret as news about future productivity. The results raise the important question of how to identify news in alternative ways. One example is Beaudry and Lucke (2010) who invoke short - and long-run zero restrictions for non-news shocks that do not depend on cointegration between and . As Fisher (2010) shows, however, the implications for news coming out of this identification crucially depend on the number of cointegration relationships imposed. Another strategy, recently proposed by Barsky and Sims (2011), is to identify news as the shock orthogonal to contemporaneous movements that accounts for the maximum share of unpredictable future movements in . This strategy, which is consistent with Beaudry and Portiers (2006) original idea that is driven by a contemporaneous component and a slowly diffusing news component, has the advantage that it does not rely on additional zero restrictions about other non-news shocks. As a result, it is robust to different assumptions about cointegration and can be applied to arbitrary vector moving-average systems. Interestingly, Barsky and Sims (2011) find that the news resulting from their identification accounts for a substantial share of and macroeconomic aggregates at medium - and long-run horizons. However, their news shock does not generate the type of joint increase in real macroeconomic aggregates on impact that Beaudry and Portier (2006) report and that generated a lot of interest in the literature. Barsky, R. B. and E. R. Sims (2011, April). News shocks and business cycles. Journal of Monetary Economics 58 (3), 273-289. Basu, S. J. G. Fernald, and M. S. Kimball (2006, December). When has columns and is a matrix, it follows that has rank 1. A. 2 Long-run shocks to TFP in the VECM This section shows how to implement the identification of long-run shocks to in the VECM systems. Throughout, a one-to-one mapping is assumed between forecast errors and structural shocks . which must obviously satisfy . For the VECMs considered by Beaudry and Portier (2006), there is a single common trend driving the permanent component of all variables, since there are cointegrating relationships when the system has variables. For the sake of convenience, the shock driving this trend will be referred to as long-run shocks to . while it should be understood that the same shock also accounts for all long-run movements in . and potential other variables, denoted . This section describes how to construct these long-run shocks from the reduced form parameters of the VECM. Consider the matrix of structural long-run responses . and let the first column of be the responses of forecast errors to the long-run shock. Since no other shock is issued to have a permanent effect on any of the VECMs variables, it follows that where denotes the column vector of long-run responses of to the long-run shock. A singular-value decomposition of yields where and are conformably partitioned, unitary matrices, and . Without loss of generality, can be written as the product of and another matrix . As will be seen next, the long-run restriction requires that is (block-) triangular: The restriction follows from (7 ) and (8 ), since it ensures that where denotes an arbitrary column vector. factorizes . A factorization of that satisfies the long-run restriction (7 ) is the Choleski factorization. The first column of -- the column associated with the long-run shock -- is then given by the first column of and the long-run shocks are the first element of where the remaining column of . and thus also the remaining elements of . reflect an arbitrary permutation of the remaining shocks, without structural interpretation. For future use, the long-run shocks will be denoted . B. Multiple BP shock candidates The BP scheme for identifying news shocks hinges on two long-restrictions, namely that one of the non-news shocks has zero effect on and in the long-run. But as shown above, the matrix of long-run responses in the VECMs VMA representation is singular, with a rank of 1, and one of these long-run restrictions is superfluous, and news shocks are not uniquely identified by the BP scheme. This section describes how to compute the set of candidate shocks in the VECM systems, that are all consistent with the BP restrictions. As an illustration, we reestimate Beaudry and Portiers (2006) four-variable VECMs with their original data and apply the procedure described here to obtain all possible impulse vectors that respect the BP restrictions and generate a positive impact response of the stock market. The results are reported in Section B.2 below. B. 1 The entire set of solutions the BP scheme To recap, the BP restrictions for the four-variable case are There is a measurement error shock, which affects only the fourth variable in on impact depending on the VECM specification this variable is either or . The shock is denoted . The news shock, denoted is orthogonal to on impact. There is a pure demand shock, denoted . which has no permanent effect on and . (As argued above, this shock has thus no permanent effect on any of the VECM variables.) In addition, all structural shocks are orthogonal to each other and have unit variance. Since the VECM has four variables, the three structural shocks also imply a fourth residual structural shock, . without any particular interpretation. A candidate vector of structural shocks can simply be constructed by applying a series of projections using the forecast errors and long-run shocks (see Appendix A.2 ) as follows: is the standardized residual in a regression of the fourth VECM residual, onto the other three residuals. A news shock candidate can then be constructed as any linear combination of the VECM residuals, which is orthogonal to the forecast error for . . and the measurement error shocks . As will be shown below, it is then always possible to construct with the desired properties. Because of the two orthogonality restrictions, only linear combinations in and need to be considered when constructing the news shock candidate. Specifically, we use a Givens rotation to construct and compute the news shock candidate as the standardized residual in regressing onto and . Different news shock candidates are thus indexed by the angle . denoted (Only the half circle is considered, since the sign of the shock is determined by the restriction that it generates a positive stock market response on impact.) For a given it is straightforward to compute a demand shock candidate, . which has no permanent effect on the VECM variables. To ensure this long-run restriction, the demand shock must be orthogonal to . as constructed in Appendix A.2. since is the sole driver of the permanent component in . In addition, the demand shock has to be orthogonal to and . In sum, the demand shock candidate can be constructed as any linear combination of the VECM residuals which is orthogonal to . and . Since there are only four VECM residuals and there are three orthogonality constraints, any linear combination of the VECM residuals yields the same projection residual (up to scale and sign) -- unless this linear combination should lie in the span of the three orthogonality restrictions, which is easy to check. For a given candidate vector of shocks the corresponding candidate matrix is equal to the covariance matrix . which satisfies the BP restrictions by construction. All these computations hold both for population and sample moments. For the trivariate VECMs, the procedure is identical, except for the absence of . The set of BP candidate shocks is then described by any linear combination of the VECM residuals that is orthogonal to on impact. Again, up to scale and sign, candidate shocks can be computed by projecting of any linear combination of the residuals of and . denoted and . off . B. 2 Application to the BP-VECMs The first row of Figure 1 reports the results for Beaudry and Portiers (2006) four-variable VECM in ( ). 15 The second row of Figure 1 reports equivalent results for the four-variable VECM in ( ). Results for the trivariate VECM in ( ) are very similar and are available upon request. The blue solid lines replicate impulse responses for the long-run shock reported in Figure 8 of Beaudry and Portier (2006). The grey intervals show the range of candidate solutions consistent with the BP restrictions. Finally, Example 1 (dash-dotted black lines) and Example 2 (dotted red lines) display the impulse responses for two particular solutions. Example 1 corresponds to the solution that fits the impulse response of to the long-run shock best in a least square sense Example 2 corresponds to the solution that generates a near-zero response of at the 40 quarter forecast horizon. Note: The top row depicts estimates generated by a VECM in . . and . Bottom row shows estimates from VECM in . . and . Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier (2006, BP). In each panel, the solid blue line shows impulse response to a long-run shock in the grey shaded area depicts the set of all impulse responses consistent with the BP restrictions. the dashed (yellow) and dash-dotted (magenta) lines show two particular impulse responses consistent with the BP restrictions. Example 1 is as close as possible to the responses generated by the long-run shocks, while satisfying the BP restrictions. Example 2 has been chosen to generate a near-zero response of . while also satisfying the BP restrictions. Consistent with the BP restrictions, none of the candidate solutions affect TFP on impact. Likewise but not shown here, none of the corresponding non-news shocks in the third position of have a permanent effect on either or and none of the corresponding non-news shocks in the fourth position of have a contemporaneous effect on . and . This confirms numerically that there is an infinity of candidate solutions satisfying the BP restrictions. The grey intervals and the two examples show that the candidate solutions have very different implications. As Example 1 shows, there exists a solution that appears very close to the impulse responses reported in Figure 8 of Beaudry and Portier (2006). By contrast, as Example 2 shows, another solution that is equally consistent with the BP restrictions generates almost no reaction in but a persistent drop in consumption and hours, respectively investment. Given the very different results across rotations, it should not come as a surprise that the range of correlation coefficients between the shocks satisfying the BP restrictions and the long-run shock is wide for both VECMs, ranging from about -0.50 to 0.99. Likewise, as Table 1 shows, the forecast error variance (FEV) shares of the different variables attributable to shocks consistent with the BP restrictions extends from basically 0 to above 80 for certain forecast horizons. Table 1: Range of FEV Shares generated by VECM Estimates (Forecast horizons) Note: Range of forecast error variance shares explained by shocks satisfying the BP restrictions in the VECM systems at different forecast horizons. Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier. Since the BP shocks are underidentified in these systems, each column reports the lowest and highest shares found amongst all possible shocks, satisfying the BP restrictions. Each of these candidate solutions also implies different responses to the demand shock, . As required, all of these solutions have zero effect on and . and -- by virtue of the assumed common trend in all variables -- neither on and . This is illustrated in Figure 2. which depicts the set of impulse responses the demand shock in each VECM at very long horizons. These results provide a computational consistency check, that the BP restrictions indeed hold for the entire range of shock responses shown in Figure 1 . Figure A2: Sets of Impulse Responses for Demand Shock Candidates in the VECMs Figure A2 Data Note: The top row depicts estimates generated by a VECM in . . and . Bottom row shows estimates from VECM in . . and . Both VECMs are estimated with 5 lags and 3 cointegrating vectors, identical to what has been used by Beaudry and Portier (2006, BP). In each panel, the grey shaded area depicts the set of all impulse responses to the demand shock consistent with the BP restrictions. By construction, this shock has no long-run effect on either or . and by virtue of the assumed cointegrating relationships, neither on . C. BP restrictions in the stationary VAR This section describes the identification of BP shocks in the stationary VAR. The implementation is fairly similar to the VECM case described in Appendix B above. The major difference is that there is now a unique solution for the BP identification, since the stationary VAR allows for distinct trends in and . The BP news shock is constructed by projecting a linear combination of off the measurement error shock . the demand shock and the forecast error in . As before, is given by projecting off . (The construction of the demand shock will be described further below.) Let these three innovations be stacked in a vector and notice that is entirely spanned by . Since has four elements and has three elements, the residuals of projecting any linear combination off are perfectly correlated (provided the linear combination is not perfectly spanned by ). For example, we can project off to construct the BP shock (up to sign and scale). The sign of the news shock is then determined by the condition that and the scale is identified from . What remains to be shown is the construction of the demand shock . which in turn will depend on constructing two shocks, that drive the permanent components of and denoted and . These two shocks can be constructed using the conventional procedure of Blanchard and Quah (1989) for long-run identification. Notice that these two shocks have no structural interpretation in this context, they are merely sufficient statistics for implementing the long-run restrictions on the demand shock. Specifically, the long-run restrictions amount to require that is orthogonal to and . The long-run innovations and . are constructed by factorizing the long-run variance of . denoted as follows: In this implementation, accounts entirely for fluctuations in the permanent component of . as well as for some of the permanent component in . while explains fluctuations in the stochastic trend in . which are orthogonal to trend movements in . Given . and . the demand shock can be constructed as the standardized residual from projecting any linear combination of onto . Using similar reasoning as before, any linear combination yields the same standardized residuals (except for the degenerate cases where the linear combination is completely spanned and the residuals are all zero). As before, the matrix of impact coefficients is identical to the matrix of covariances between VAR residuals and structural shocks, and these relationships hold in population as well as for sample moments. D. BP restrictions in the level VAR Our implementation of the BP restrictions in the level VAR is very similar to the procedure for the stationary VAR outlined in Appendix C. For given shocks . and . the news shock can be estimated as the projection residual between any linear combination of the VARs forecast errors, . and the above-mentioned three shocks. As before, the measurement error shock . can be obtained by projecting the fourth VAR residual off the other three VAR residuals. The only special feature of our implementation for the level VAR, is the identification of the long-run shocks. Since point estimates of the level VAR typically imply explosive behavior, the sum of the estimated VMA coefficients does not converge to a finite number, and long-run shocks cannot be constructed as in Blanchard and Quah (1989) by factorizing the long-run variance (see also Appendix D ). We follow Francis et al. (2012) and identify the long-run shocks based on their explanatory power for variations in and at long but finite horizons. Specifically, we construct . to explain as much as possible of the forecast-error variance of at lags, and similarly for and . For this method it is convenient to express the identification in terms of an orthonormal matrix ( ). and not in terms of the matrix of impact coefficients . where both are assumed to be related via the Cholesky decomposition of the VARs forecast error variance, chol . We seek the column of . associated with a long-run shock to . Denoting this column . it solves the following variance maximization problem where are the coefficients of the VARs vector moving average representation, . selects from the vector of variables in the VAR. Shocks are constructed using where spans the null space of such that is orthonormal. The procedure is analogous for . using instead of a vector . which selects from the vector of VAR variables. A similar procedures is also used to identify news shocks as defined by Barsky and Sims (2011) and Beaudry et al. (2011). There are just two differences: First, both procedures uses different forecast horizons. Beaudry et al. consider forecast horizons of of 40, 80 or 120 leads and our paper reports results for 120 leads. Barsky and Sims average over the forecast error variances at leads one to 40. Second, both approaches impose the additional requirement that the maximizing shock vector is orthogonal to a vector which selects from the set of VAR variables in the present context, this requirement amounts to the first element of being zero. As a necessary condition, and must not be perfectly correlated, to obtain a unique solution to the projection-based procedure described in Appendix C. When both long-run shocks are perfectly correlated, the orthogonal complement to the space spanned by is not anymore one-dimensional. (A similar issue would arise, if one of the two long-run shocks were perfectly correlated with . the measurement error shock to the fourth variable.) When simulating confidence sets for the level VARs, we found that for about 50 of the draws, and are so highly collinear, that their variance covariance matrix is ill-conditioned. As a consequence, the variance-covariance matrix of is ill-conditioned. In these cases, we treat and as perfectly correlated, such that and share the same common trend. The news shocks are then underidentified, and an infinite number of solutions can be traced out, using a procedure analagously to what is described in Appendix B . This appendix provides the following supplemental results: Figure 3 reports impulse-responses to the BP shocks in the level VARs. The results are identical to those shown in Figure 1 of the paper, except that Figure 3 displays the results at full scale. Table 2 reports the shares of forecast error variances explained by the BP shocks at different horizons in the level VARs, and Table 3 reports the analogous results for the stationary VARs. Note: The results shown in this figure are identical to Figure 1 of the main paper, except for the scale of each plot. The top row depicts estimates generated by the VAR in . . and . The bottom row shows estimates from the VAR in in . . and . Each VAR has 4 lags. In each panel, the solid red line shows point estimates for impulse responses to a news shock identified by the BP restrictions, and the dashed blue line depicts estimates for the long-run shock to . While the BP shocks are uniquely identified when evaluating the level VAR at its point estimates, this is not the case in 45 (upper panels) and 58 (lower panels), respectivelym, of the draws generated by bootstraps of the level VAR, since the estimated trends in and are perfectly correlated (up to machine accuracy) for these draws. The grey shaded areas depict the set of impulse responses consistent with the BP restrictions across all these draws. This area also comprises also any confidence set of impulse responses generated from the bootstrap draws, where the BP shocks are just identified. Table 2: FEV Shares of BP shocks generated by Level VARs (Forecast horizons) Note: Shares of forecast error variances at different horizons explained by the shocks identified by BP restrictions in the stationary VAR. Results are generated from VARs with 4 lags. 80 percent confidence sets reported in parentheses below the point estimates. The views expressed in this paper do not necessarily represent the views of the Federal Reserve System or the Federal Open Market Committee. Return to Text 1. See for example Beaudry and Portier (2007), DenHaan and Kaltenbrunner (2009), Jaimovich and Rebelo (2009), or Schmitt-Grohe and Uribe (2012). Return to Text 2. An equally important reason to work with systems in more than two variables is robustness. If the economy is complicated even in simple ways, then the type of bivariate systems that Beaudry and Portier (2006) use for their baseline analysis is likely to generate inaccurate answers. See Faust and Leeper (1997) for an example in another context. Return to Text 3. The replication files posted on the AER website do not include code showing how news were computed by Beaudry and Portier (2006). In private communication, we learned from the authors that their computations relied on a numerical solver that arbitrarily returned one from the infinite number of viable solutions. Return to Text 4. A Web-Appendix provides details of all derivations and computations. Return to Text 5. See Footnote 8 and the notes to Figures 9 and 10 in Beaudry and Portier (2006) for the number of cointegration restrictions imposed. The notes to the Figures also state that 4-variable VECMs with 3 (or 4) cointegration restrictions correspond to VARs in levels. However, this seems to be a simple mistake. As Beaudry and Portier (2006) write themselves on page 1296, a VECM is equivalent to a VAR in levels only if the matrix of cointegrating vectors is of full rank (also see Hamilton, 1994, chapter 19). Return to Text 6. Technically, the and the equation of on which the long-run restrictions are imposed are the same. This leaves the system short of one equation to identify . Nothing would change about this identification problem if Beaudry and Portier (2006) had imposed cointegrating restrictions only on and but not on any of the other variables (i. e. if was a row-vector with non-zero entries only in the positions related to and ). Return to Text 7. Formally, let the VAR in levels be defined as . Then, the vector-moving average representation in (1 ) can be recovered as . Non-stationarity of the variables in implies that the roots of lie strictly inside the unit circle. In this case, the long-run impact matrix does not converge to a finite-valued solution. Return to Text 8. Details of the procedure, which to our knowledge is new, are provided in the Web-Appendix. Our approach of first computing shocks that account for most of the FEV at long but finite horizons is reminiscent of Francis, Owyang, Roush and DiCecios (2012) method of imposing long-run restrictions. While approximately, the thus identified shocks account for more than 95 of movements in . respectively . at the 400 quarters horizon. Return to Text 9. The measure from Beaudry and Portier (2006) that we use is the Solow Residual adjusted with BLSs capacity utilization index. See Section III. B of their paper. Results would be very similar if we instead used a quarterly interpolation of the measure in Basu, Fernald and Kimball (2006), as provided by Fernald (2012). Return to Text 10. See Figure 9 in the AER paper and Figure 20 in the NBER working paper. Return to Text 11. Specifically, for about 50 of the draws in each level VAR, the two shocks driving the long-term components of and -- as identified by maximizing the FEV share over 400 quarters -- are so highly collinear that their variance-covariance matrix is ill-conditioned. In these cases, the estimated trends in and cannot be reliably distinguished from each other, which is a key prerequisite for unique identification under the BP restrictions. Further details are described in the web-appendix. Return to Text 12. More specifically, for each draw that implies cointegration between and . we apply Givens rotations to obtain all possible impulse vectors consistent with the BP restrictions. Any rotation with a negative impact response of is eliminated so as not to include simple 180 degree rotations of candidate solutions. See the Web-Appendix for details. We could have instead eliminated rotations with a negative long-run effect on . None of the conclusions would have changed. Return to Text 13. Other possible causes for absence of cointegration between and are (permanent) changes in distortionary tax rates or labor force participation. Return to Text 14. Equivalently, the balanced growth assumptions can be implemented in Beaudry and Portiers (2006) VECMs by requiring the matrix of cointegrating vectors to contain only 1s and 0 s in the appropriate positions. Return to Text 15. The measure from Beaudry and Portier (2006) that we use is the one adjusted with BLS capacity utilization index. See Section III. B in their paper. Return to Text clubs This version is optimized for use by screen readers. Descriptions for all mathematical expressions are provided in LaTex format. A printable pdf version is available. Return to TextSo Im getting the following EViews output, but where on earth is the long run relationship Do I have to estimate it separately using OLS If you have to estimate it yourself via OLS, Ive already done that, but the regression gives me a very high intercept, so the second time series does not drive the first one much. This causes my model to be inaccurate at forecasting in an environment where there is a strong bear or bull market (as has been the case with rates recently) because my long run relationship remains artificially high due to the high intercept. Would it be completely inaccurate for me to model a long-term relationship of my own (e. g. a dynamic moving average of some sort) EDIT: I think its the Cointegrating Eq Im looking for, but still, why does it give virtually no slope for the 1Y coefficient (-0.006946) It doesnt tie with the OLS I run, which gives something closer to 10Y 75 0.3 1Y, whereas this model seems to imply the long run relationship is 10Y 108 0.0 1Y. EDIT2: I found that you can remove the intercept by going to Quick Estimate VAR Cointegration tab. This makes my model far better from a forecasting standpoint, but I question whether or not it remains mathematically valid (I was taught you shouldnt run a regression without an intercept). And I still dont get why my OLS differs from the long run model EViews gives me. asked Apr 27 15 at 22:51 I39m still really confused. I get that CointEq is the coefficient in front of the long run relationship component, but where do you get the long run relationship itself Do you run the regression yourself Edit: or is the long run relationship 10Y 107.9739 0.006946 1Y based on what I have above If so, it doesn39t tie in with the OLS I run, which gave me roughly 10Y 75 0.3 1Y. ndash Ninja7777 Apr 28 15 at 0:02